Роман Уфимцев, "1/F"Несмотря на то, что в предлагаемом вашему вниманию тексте нет ни единой выдумки и подтасовки фактов, это ни в коем случае не "научная статья". Не обманывайтесь присутствием многочисленных диаграмм - это такое же свободное эссе, как и прочие материалы на нашем сайте. Но поскольку того требует тема, мы обратились к математическим средствам объяснять и доказывать свои соображения. И постарались, чтобы это было просто, понятно и интересно. Итак, история начинается с ужасной банальности... Динамика продажЕсли вы работаете в офисе, то наверняка не только знаете, что такое динамика продаж, но и видели графики, которыми принято её изображать. Ну, а если вы работаете руководителем, продавцом или маркетологом, вы уж наизусть помните ломаную кривую, которая отражает взлеты и падения продаж вашей компании. Эти графики обычно строят в "лучшем друге офисного работника", программе Excel и выглядят на редкость одинаково, примерно так:
Этот график я нашел в Интернете, поэтому не стоит удивляться, как хорошо и ровно растут продажи у этой компании (правда, с прогнозом на 2008-й они наверняка ошиблись). Гораздо чаще графики продаж представляют собой ломаную линию, в которой есть взлеты и падения - но их никто не станет выкладывать в Интернет. Даже график продаж этой компании оказался бы ломаным, если бы они построили график продаж по месяцам или неделям. На таких графиках сразу видно, растут продажи или падают, а разложив продажи по месяцам и дням недели, можно увидеть сезонные и недельные колебания продаж. Но вот дневные графики продаж (один день - одна точка на графике) используются редко. Причина простая - график теряет свою наглядность, гладкость, на первый план выходят случайные флуктуации:
Это график, который мы построили по реальным данным продаж. На нем один столбик означает уровень продаж в один определённый день. Всего тут данные за 300 последовательных дней. Само собой, этот график кажется бесполезным - ведь за флуктуациями толком не видно основных тенденций. Но откуда они берутся и что это за флуктуации? Типичный ответ: "эти флуктуации вызваны совершенно случайными причинами, в них нет никакой системы и информации, это статистические помехи, от которых нужно избавляться, усредняя данные по неделям, месяцам и годам" (как на красивом графике сверху). Но не всё так просто. Очевидный и, кажется, правильный ответ о полной случайности и бессистемности флуктуаций продаж не верен. В этом статистическом шуме прячутся настоящие откровения о том, как устроены рынки и люди. Но прежде, нам нужно поговорить о шумах, о том, что это такое и какие виды шумов были найдены в природе. Разновидности и цвета шумовВообще, шумом называют любой сигнал (а график динамики продаж тоже можно рассматривать как сигнал), который имеет нерегулярную, хаотическую форму. В таком сигнале всплески и падения сменяются с виду бессистемно, совершенно случайно. Тем не менее, как и любой сигнал, шум можно анализировать - точно так же, как анализируют любые сигналы. В том числе, можно выделить частотный спектр шума. Из ВУЗ-овского курса математики вы, должно быть, помните, что любая функция может быть преобразована с помощью "преобразования Фурье". Это такая операция, которая позволяет представить функцию (или сигнал) в виде её спектральных составляющих. То есть, любой сигнал можно представить в виде суммы колебаний различных частот. Для разных типов сигналов амплитуды колебаний на различных частотах различаются, и когда мы строим график, на котором по оси X откладывается частота колебаний, а по оси Y - их амплитуда, мы получаем спектр сигнала:
Во многих компьютерных (и не только) музыкальных проигрывателях есть функция отображения спектра музыки, наподобие этого. Тут по спектру видно, что в играющей музыке преобладают низкие частоты, и что в районе частоты в 800 Гц. присутствует пик, который связан с резонансом какого-то инструмента. Спектр шума дает о нём очень красноречивую информацию, поэтому сегодня принято классифицировать различные виды шумов как раз по особенностям их спектра. Среди всего их многообразия наибольшее значение имеет три типа шумов: белый шум, коричневый шум и розовый шум.
Мы начнем с белого шума. Это "абсолютный" шум - единственный вид шума, в котором нет никакой системы, лишь полная случайность. Чтобы его получить, нужно обратиться к случаю - например, взять числа от 1 до 1000, наугад их выбирать и записывать. У нас получится совершенно случайная последовательность чисел, и если её изобразить на графике, мы получим классический вид белого шума. Коричневый шум можно получить другим способом. Мы будем выбирать наугад числа от -500 до +500 и прибавлять их к значению предыдущего числа. То есть, если первое значение равно 103, а нам случайно выпало число 67, то следующее значение будет 170. Если мы построим так длинную последовательность значений, мы получим коричневый шум. Он выглядит более гладким, не таким изрезанным, как белый шум: график не прыгает, а случайно "бродит" то вверх, то вниз. Сам способ получения коричневого шума называется алгоритмом случайного блуждания. Считается, что именно так двигаются мелкие частицы под действием броуновского движения. Это отражено и в самом названии шума: на самом деле он не коричневый, а "brown" - по фамилии открывателя броуновского движения. По совпадению, "brown" по-английски означает коричневый цвет. Обратим внимание, что коричневый шум не совсем случаен: каждая следующая точка графика строится на основе положения предыдущих точек, а не "с нуля". Поэтому говорят, что броуновский шум отражает процесс с памятью: следующая точка возникает хотя и случайно, но исходя их предшествующих (при этом направление броуновского движения не зависит от предыдущего направления). У белого шума таких свойств нет. Наконец, розовый шум. О нём мы пока лишь скажем, что он находится посредине между белым и коричневым, что заметно по его виду - с одной стороны, он не такой хаотичный, как белый шум, а с другой - не такой приглаженный, как коричневый. Спектры цветных шумовТеперь самое время обратиться к спектрам этих трёх основных видов шумов, чтобы увидеть их особенности. Сделаем лишь два замечания:
Спектр белого шумаИтак, сначала взглянем на спектр белого шума. С помощью программы MATLAB мы построили длинную последовательность случайных чисел и рассчитали логарифмический спектр получившегося сигнала:
Первое, что сразу бросается в глаза - спектр белого шума примерно ложится на горизонтальную линию. Если провести множество числовых экспериментов, спектр будет совершенно горизонтальным. Из-за того, что числа "полностью случайны", в белом шуме обнаружилась ясная система, которую вовсе не легко было бы предугадать, принимая во внимание сам способ его получения - аналог бросания костей. На спектре также проведены три прямых линии. Мы имеем дело с логарифмической шкалой и вид различных кривых в ней изменяется по сравнению с линейной. В частности, все кривые соответствующие простым степенным математическим функциям типа y=1/x или y=1/x² приобретает в логарифмической шкале вид прямых линий различного наклона. На нашем спектре три таких линии:
Положение этих кривых по вертикали не имеет значения (от этого сама функция существенно не меняется). Важен лишь их наклон - он зависит от степени f. Спектр белого шума ложится на горизонтальную кривую 1/fº - это значит, что мощность белого шума на всех частотах одинакова. Спектр коричневого шумаДалее мы обращаемся к коричневому шуму. Спектр шума, полученного по алгоритму случайного блуждания тоже ложится на линию, на этот раз на линию 1/f²:
Спектр розового шумаЕсли спектр белого шума ложится на линию 1/fº, а спектр коричневого - на линию 1/f², то совершенно естественно полагать, что спектр промежуточного, розового шума, должен ложится на линию 1/f. Так оно и есть. Именно шум со спектром, который ложится на линию, примерно соответствующую 1/f, принято называть розовым шумом ("pink noise"). В природе известно множество случаев, когда шум "почти" розовый - то есть, когда показатель степени f не равен 1, но близок к нему.
Как получить розовый шум? Белый мы можем получить простым перебором случайных чисел. Коричневый - алгоритмом случайного блуждания. Но как таким же простым способом получить розовый? Поразительно, но простого математического метода получить розовый шум так и не нашли. Розовый шум, проявляясь в совершенно различных явлениях природы, - от звуков человеческой речи и шума полупроводников до распределения кратеров на Луне и размера городов в США, - остаётся непонятным по происхождению. К слову, о шумах в природе... Шумы в природеВсе три основных типа шумов широко распространены:
Совершив короткий экскурс в увлекательный мир шумов, мы готовы вернуться к шумам в динамике продаж. Какой именно тип шума мы видим, когда разглядываем изрезанные графики дневных продаж? Абсолютно случайный белый? Блуждающий коричневый? Или, быть может, розовый шум? Мерцающая динамика продажЧтобы ответить на вопрос, какой именно тип шума мы наблюдаем в скачущей ото дня ко дню динамике продаж, мы взяли реальные данные продаж одной нашей "знакомой" компании за 1030 дней наблюдения - то есть, почти за три года. В первой части статьи мы приводили его вид за 300 дней - изрезанный, очень зашумлённый график. А далее мы проанализировали эти данные так же, как анализировали белый и коричневый шум. Вот что получилось:
Несмотря на то, что спектр не гладкий, как у чистого белого или коричневого шума (для получения гладкого спектра нужно гораздо больше данных, чем за 1030 дней), можно сделать некоторые наблюдения:
Как же компаниям удаётся действовать среди шума? Вспомним: мы говорили, что коричневый шум, в отличие от белого, имеет память - каждое следующее значение получается исходя из предыдущего (но не направление и не приращение - там зависимости нет). Розовый шум также обладает памятью - он тоже не полностью случаен, как белый. Заключение
Чтобы уверенно утверждать, что динамика продаж является (или не является) розовым
шумом, необходимо проанализировать гораздо больше данных - от разных компаний, за
длительные промежутки времени. Но и на основе измерений имеющихся данных можно
утверждать, что казалось бы случайные ежедневные флуктуации продаж имеют память
и являются проявлением общесистемной динамики.
|